Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE V.

les y etant des entiers complexes, tout zero de ce polynome est un
entier complexe et la proposition est demontree (').
Une consequence immediate de ce theoreme est que tout entier
complexe diviseur commun des coefficients o de F est aussi un
diviseur de tous les produits iJ3). Remarquons encore, comme
pour le theoreme de Gauss, que la merne propriete s'etend au cas
d'un polynome a plusieurs variables produit de deux polynomes.
Ideaux d'un corps.
Revenons a l'ensemble des entiers d'un corps K(to), soit C le
module type de points correspondants et T une base de C. Considerons ainsi que nous l'avons fait au Chapitre II pour le plus grand
commun diviseur des entiers ordinaires, plusieurs entiers determines du corps, a,,..., meme en nombre infini, et l'ensemble
de tous les enliers de K
(I) wx a yp +...,
obtenus en remplac'ant x, y,... par tous les entiers de K. Cet
ensemble n'est plus necessairement identique a ]'ensemble des
multiples d'un entier complexe. M. Dedekind a tourne la difficulte en attribuant a ces etres une existence propre et en etudiant
leur arithmetique (2); nous avons deja fait une convention analogue pour les entiers ordinaires en representant par (a, b,...)
l'ensemble des multiples du plus grand commun diviseur de
a, b,.... Meme dans le cas d'un corps, ou tous les ensembles
precedents seraient identiques a des ensembles de multiples, il
y aurait encore interet a considerer de tels ensembles plut6t que
les diviseurs communs de leurs termes, car ces diviseurs ne sont
definis qu'au produit pres par les unites du corps. Un tel ensemble
est appele un ideal et designe p)ar
(a,,...),
(1) Cette demonstration est due a M. Hurwitz (Gott. Nachr., 1897). On
trouvera d'autres demonstrations int6ressantes du mnme theoreme dans le livre
de J. KONIG, Einleitung in die allgemneine Theorie der algebraischen Gr6ssen.
(2) Kummer avait imagine d'admeltre pour les nombres d'un tel ensemble
l'existence d'un facteur commun ideal, iddal dtant pris au sens ordinaire
du mot.