Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

L ARITHMETIQUE DES ENTIERS D'UN CORPS. 8I
a coefficients entiers algebriques est decompose en un produit
de deux facteurs f(x), g(x),
f(x) = Po X' +-i- P XI-1 +
g(X) = P ~,lt' x+ ",'-l+...,
tout produit (ij-) d'un coefficient quelconque de f par un
coefficient quelconque de g est tin entier algebrique.
La propriete est d'abord evidente pour 'o3o= Vo. Designons
par xi, x2,..., xn les zeros de f et par y1, y2..., y,n' ceCIX
de g (ce sont des nombres algebriques, zeros de F) et evaluons le
produit, = i pi =(Pl,..., Xn) (y, *, Yi),
ao o Po =('
c'est une fonction rationnelle entiere des zeros de F de degre I
par rapport a l'un quelconque d'entre eux. Remplacons alors dans
cette expression les x par chaque groupement de n des racines
de F et les y par les n' autres racines; l'ordre des racines dans
chaque groupement est indifferent puisque p et ) sonl symeLriques. On obtient ainsi N C h nombres z,, z2,..., ZN dont
les fonctions symetriques elementaires sont des fonctions symetriques des zeros de F. Posons
(z) = (z - Z1) (Z - z2)...(z- zN) = zN8 -,-1z- + 82N-2+...,
ai est une fonction symelrique entiere de degre i, des zeros de F,
donc une fonction entiere de degre i des quotients a, done encore
CL0
le quotient d'un entier algebrique par (ao)i. On peut alors
ecrire 4 (z),(z) = z -N+ z-I + 2 zN2 —2 +..+ N
a0 (ao)2 (ao)N
P est un zero de ce polynome et 3'j3, est un zero du polynome
en y,
(10o)N / j) =y Y + YIYN-l+ tY 2yN-2... N,
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