Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

78

CHAPITRE V.

CHAPITRE V.
L'ARITHMETIQUE DES ENTIERS D'UN CORPS.
Divisibilite des entiers algebriques.
La definition des entiers complexes est independante du corps
qui les contient; on peut done considerer l'ensemble de tous les
entiers complexes alge'br7iques ( ). Tous les nombres algebriques
se deduisent des termes de cet ensemble par division par des entiers
ordinaires.
On pourrait esp6rer etendre l'ensemble des entiers algebriques
en y adjoignant les racines d'dequations algebriques
f( C) = x"-^- a wX^-+-1- a"2x"-' -... -- a,,, = o ai entiers complexes).
Mais ceci n'est pas une extension, car les racines d'une telle
equation sont encore des endtiers algebriques. En efiet, si l'on
considere le cQrps K, de degre n, defini par les ai et tons les polylomes f,/f,,..., f, obtentus en remplacant dansf les coefficients
par leurs conjugues dans les n corps conjugues de K, le polynome
F(x) = [/i (x)] [f(x)]...[()]
a ses coefficients entiers, son terme de plus haut degre etant x"mZ;
]es zeros de f, etant des zeros de F, sont done bien des entiers
algebriques.
Toutes les proprietes qui, pour les entiers ordinaires, derivent
des proprietes de l'addition, de la soustraction et de la multiplication s'etendent manifestement aussi bien a l'ensemble de tous les
entiers complexes qu' ' [ensemble des entiers d'un corps. 11 n'en
est plus de meme de celles qui derivent de la notion de division

(1) Cet ensemble est denombrable, de meme d'ailleurs que celui des nombres
algebriques (voir E. BOREL, Lecons sur la theorie des fonctions); nous n'aurons
pas besoin pour ce qui suit de ces considerations.