Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

LES NOMBRES ET LES ENTIERS ALGEBRIQUES.

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Dans une telle representation, a tout tableau 'a termes entiers
correspond un entier complexe du corps, puisque l'equation en )
d'un tel tableau est necessairement de la forme (3). La reciproclue
n'est pas toujours exacte ('), nots verrons au Chapitre suivant
une condition necessaire pourl qu'elle le soit; on peut en tous cas
montrer deja que, si l'operateur commun des X est une base T
des entiers du corps, a tout entier complexe correspond un7
tableau C termes entiers (et reciproqueement). Supposons qu'il
en soit ainsi et que T soit formed des entiers,.,,..., )M. Alors, si
un tableau X correspond a l'entier o, les lignes de X sont les
coordonnees relatives des points de R,
(XoLi, a,9 a..., aoI),) ()l'oi, 2. -,o...J, PitO), '... ()iW,) I,,)2, *2,,,n )
par rapport a T; les nombres gto, B,..., tant entiers complexes, ces coordonnees relatives sont entieres rationnelles, ce qui
demontre le theoreme. iDans ce cas, si Al, A2,..., A, sont les
tableaux correspondants aux nz entiers de la base T, ou d'une
autre base, tout tableau correspondant a tin entier complexe
du corps est donne par la formule
[X ]AI+ [-X]A2 4-...- + [xn] An (x1 entiers),
et reciproquement.
(1) Un changenent d'operateur revient, en effet, a remplacer tout tableau X
par X' = PXP-t, P a termes rationnels. On en dcduit aisement que, si X n'est pas un
systeme simple, on peut choisir P de facon que X' ne soit plus a termes entiers. Si
I'on considere dans un tel ensemble les tableaux a termes entiers, les entiers complexes correspondants forment un ensemble, inclus clans lensemble de tous les
entiers, v6rifiant les proprietes imposees a 0 et contenant en outre tous les entiers
ordinaires (systrnes simples), c'est ce que M. Dedekind appelle un orclre
et MI. HilberL tin anneau (Ring).