Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

LES NOMBRES ET LES ENTIERS ALGEBRIQUES.

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Avant de demontrer la reciproque, indiquons quelques proprietes des entiers complexes ainsi definis. L'equation fondainentale F(x) - o d'un tel entier a est aussi de la forrne (3), car,
F etant primaire, d'apres la propriete de Gauss, tout polynome
a coefficients entiers f(x) ayant oa pour zero estle produit de F(x)
par un polynome a coefficients entiers, done le coefficient du
terme de plus haut degre de F est un diviseur de celui def; si ce
dernier est egal a ~+ I ii en est de meme du premier. Ceci conduit
a une autre definition des entiers complexes: ce sont des nombres
algebriques tels que les fonctions symentriques elementaires
et, par suite, toutes les fonctions symnetriques entieres & coefficients entiers de leurs conjagues (le nombre considere en luimeme ou conmme appartenant c un corps) sont des nombres
entiers 7rationnels. En particulier, les entiers complexes de degre i
(ou rationnels) ne sont autres que les entiers ordinaires. Enfin,
dans un corps, il existe bien une infinite d'entiers complexes et
tout autre terme est le quotient d'un entier complexe par un entier
ordinaire; en effet, si m est un nomlbre de K et a0 un denominateur
commun des fonctions symetriques elementaires de -, le nombre aOm appartient a K et les fonctions symetriques elementaires
de ses conjugues sont des entiers. Si m est primitif, l'entier a0 est
egalement primitif.
Ceci acquis, pour ddmontrer que la condition est suffisante,
nous allons etablir que lous les entiers complexes l'un corps K
forment bien un ensemble 0 repondant aux conditions imposees.
D'une part, uine fonction entiere a coefficients entiers de plusieurs
entiers complexes de K, 0= — cp(,, y) est un nombre de K;
si l'on considere ]es fonctions symetriques elementaires des conjugues de 0 (considere comme appartenant a K), ces fonctions etant
symetriques par rapport separement aux conjugues de a., de [
et de y, sont des entiers ordinaires et 0 est bien un entier complexe. D'autre part, considerons, dans le module de points l, ceux
des points (a.,, C2,..., ac ) qui correspondent aux entiers complexes de K. D'apres ce qui precede, ces points forment un sousmodule c de a; ce module est de dimension z, car si a est un
entier complexe element primitif, le tableau A forme par les n
points de G correspondant aux.n entiers i, a, (a)2,... (c/)n-l
a un determinant non nul, puisque. est primitif (c'est la racine