Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

74 CHAPITRE IV.
par addition et soustraction d'un nombre fini d'entre eux (1)
(de meme que les entiers ordinaires se deduisent de l'unite par
addition et soustraction). 11 est assez curieux, et c'est meme l'un
des points essentiels de cette theorie, cque ces proprietes de l'ensemble 0 conduisent a des conditions independantes du corps K
pour les nombres qui constituent 0.
La condition necessaire et sufJisante pour qu'un nombre
algebrique du corps K fasse partie d'un tel ensemble 0 est
qu'il soit 7'acine d'une equation:
(3) xN-+ al xN-1 +... o (a entiers).
Toute racine d'une telle equation est dite, potur cette raison,
entier complexe.
Soit d'abord un ensemble 0 (le nombres d'un corps et supposons qu'on puisse deduire chacun de ses termes par addition
et soustraction de p d'entre eux, c., ~,..., X. C'est dire que
chaque eleinent de 0 est une combinaison lineaire et hornogene
a coefficients entiers de c, 3,..., ),. Alors, si ri est un nombre
de 0, il en est de mrnme de.Mu, r,..., no, et l'on doit avoir:
ma = ca z x + a ' p 4... - a^ A,
~-? =.a OtI 2 --...+ aa X,........................ - - -. nTn = a Ig. ~- a, t +... -+- aP,
les a etant des entiers ordinaires. En considerant ces egalites
comme des equations en a, j3,..., on en deduit
al - a... aal a -T... a)
a,... aI
c'est dire que m verifie bien une equation (2) de la forme (3).
(1) On verifie sans peine que ces propri6ets ne sont v6rifiees clans le corps des
nombres rationnels que par des ensembles formes d'entiers ordinaires (multiples
d'un reme nombre).
(2) II est a remarquer que, pour cette d6monstration, on n'a pas utilise
l'hypothlese que les nombres sont algehriques. On prouve done encore (ainsi que
l'a etabli M. Dedekind) qu'un ensemble de nombres, verifiant les deux conditions
imposees a 0, est necessairement forme de nombres algebriques.