Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

LES NOMBRES ET LES ENTIERS ALGEBRIQUES.

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Ce qui precede fournit un moyen de constituer a priori un
corps algebrique, ou plut6t un ensemble de tableaux qui lui
corresponde. I1 suffit de se donner un tableau X a termes rationnels dont on a pu verifier que l'equation en X etait irreductible,
ou encore de se donner cette equation f(Q,) o (ses zeros
etant o,, 2a,..., t),) et de chercher un tableau a termes rationnels qui l'admette pour equation (1) en ),. Alors, tous les tableaux
a termes rationnels permutables avec X forment un ensemble
dont les elements correspondent univoquement aux nonmbres
des n corps conjugues K(to). Le tableau X pent, en effet, etre
mis sous la forme (2); l'ordre des oi etant arbitrairement choisi,
l'operateur de X est defini a une dilatation pres, les rapports
mutuels des termes de la ie.me colonne sont des fonctions rationnelles a coefficients rationnels de (,i, c'est-a-dire des nombres
de K(wi), les rapports mutnels des termes dans les autres colonnes
sont les nombres correspondants des corps conjugues de K; done
on pent, en disposant de la dilatation arbitraire, supposer que cet
operateur est une base de K(o); on est alors ramene a la discussion precedente.
Entiers d'un corps.
Que l'on considere les nombres algebriques d'un corps ou leur
representation par des tableaux, on obtient (n ensemble oh sont
possibles les quatre operations eleimentaires. On peut done dire
qu'il jouit des proprietes des nombres. rationnels (il contien
d'ailleurs tous ces nombres). Peut-on, parmi les nombres du corps,
choisir des nombres particuliers dont l'ensemble 0 jouisse de proprietes analogues a celles de l'ensemble des entiers ordinaires?
11 faut d'abord que toute fonction entiere a coefficients entiers
de plusieurs termes de 0 soit dans 0 (c'est la la definition ordinaire d'un domaine d'integrite dans un domaine de rationalite);
nous y ajouteions ]a condition que les termes de 0 se deduisent
(1) On verra aisement comment on peut constituer un tel tableau h partir de
cette 6quation. On peut d'ailleurs exposer ce mode de representation sans se
servir de l'existence des racines en tant que nombres irrationnels complexes.
On repondrait ainsi aux desiderata de M. Drach et l'on aurait une preuve plus
tangible de 'existence logique des racines.