Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE IV.

f(x) et g(x) etant des polynomes ai coefficients entiers premiers
entre eux (sinon on pourrait les diviser par leur plus grand commun
diviseur a termes entiers), g(x) et F(x) sont aussi premiers entre
eux, sinon F diviserait g et g(o) serait nul, f(to) ne l'etant pas.
Donc, par application du theoreme de Bezout, on pent trouver
P(x) et Q(x) a coefficients rationnels tels que
P(x) g(x) - Q(x) F(x) =,
en remplacant dans cette idenlite x par o, on obtient
P(w,) g(o) =, m /(o,) P() = f, (o).
On a ainsi mis m sous la forme d'un polynome en to, mais d'apres
l'identite de la division,f (x) e t le res e R (x) de sa division par F(x)
prennent la meme valeur pour to. Done m = RR(to) et, comme R
est au plus de degre n.- i, on a bien une egalite (') de la forme (i).
Une telle representation est en outre unique, car si deux polynomes de degre inferieur a n, R(x) et R'(x) prennent la meme
valeur pour o, leur diffdrence, de degre inferieur a n, est identiquement nulle ou divisible par F(x), et ce dernier cas est impossible. Cette demonstration fournit en meme temps une methode
de calcul des elements de K(co); il suffit de faire le calcul snr les
polynomes (i), en considerant to comme variable, et en remplacant
a la fin ou dans le cours du calcul, toute fraction par un polynome (i) au moyen du procede ci-dessus.
Ceci etabli, si nous envisageons simultanement les n conjugues
mlm2,..-,,,
d'un terme de K, on peut considerer qu'ils representent un point
d'un espace a n dimensions, pent etre semi-reel; on obtient ainsi
un module de points oq. Mais, d'apres ce qui precede, onpeut
trouver En tableauc Q dcl module tel que tout point de AV ait par
rapport a Q~ des coordonne'es rationnelles et redciproquement.
En effet, en ayant egard a ce que l'egalite (i) subsiste si l'on
(1) Cette m6thode est en somme une extension tres nalurelle de 1'exposd donne
habituellement du calcul des imaginaires (point de vue des equivalences de CAUCHY).
C'est 2 --- i qui joue le role de F (x); toutefois, dans le calcul des imaginaires on
ne suppose pas les coefficients des fonctions rationnels; si on le faisait, on aurait
l'arithmetique du corps KI(i).