Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

LES NOMBRES ET LES ENTIERS ALGEBRIQUES. 69
comme appartenant a un corps de degrte /a sont n ombres egaux (1)
a et sa norme el sa trace sont (P ) et n p. Remarquons enfin
q q/ q
que le degre d'un element imprimitif est un diviseur de n, et qu'il
n'y a pas de tels elements (2) (i l'exception des noinbres rationnels), si n est premier.
Repr6sentation des nombres d'un corps.
Nous avons ainsi montre la possibilite de la realisation pratique
d'une arithmetique d'un corps algebrique K; chaque operation
dans K se ramene a un calcul sur un element primitif choisi, et la
constatation de l'egoalite de deux elements a la divisibilite d'un
polynome par le polynome fondamental F(x) de l'element primitif. Pour eviter cette derniere rechertche il peut etre commode
d'avoir une representation linique de chaque element du corps
au moyen de l'element primitif. D'autre part, comme 1'arithmetique de K est identique i celle de ses conjugues, il est naturel de
chercher une representalion unique des termes des n corps, pour
laquelle il ne soit pas necessaire de faire a l'avance une separation
des racines de l'equation F(x) = o.
Le premier de ces desiderata est rempli par le principe suivant:
Si tc est utn element primitif du co0ps, tout element - de
K(to) pett etre mis sous la forme
'(I) m' = ao + alo — + a22 - —...- ac,_1 71- (ai rationnels),
et ceci d'une secule facon.
Soit en effet F(x) o l'equation caracteristique de o et considerons un element du corps
g((o)
(1) On pent rapprocher ceci de la ddfinition d'un systene simple [iz], pour
laquelle il est necessaire de connaitre l'ordre du tableau. On verra ci-apres que
ce rapprochement n'est pas tout B fait foituit.
(2) La recherche des elements irnprimitifs est surtout utile pour la resolution
de l'6quation. Toutes les notions precedentes s'etendent d'ailleurs immndiatement
au cas d'un domaine de rationalite quelconque.