Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

LES NOMBRES ET LES ENTIERS ALGEBRIQUES.

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remarque precedente, est une fonction rationnelle en to et x, a
coefficients rationnels. Son numerateur F(x), considere comme
polynome en x, appartient au domaine K(t), il ne s'annule pour
aucun des nombres conjugues de a, a 1'exception de a lui-meme,
puisque d'apres l'hypothese aucun des facteurs du second membre
n'est nul. Mais alors sif(x) = o est l'equation fondamentale de o.,
le plus grand commun diviseur de F etf a pour seul zero, il est
done du premier degre et a est le quotient de ses coefficients. Or,
f(x) etant a coefficients rationnels appartient a fortiori a K(to),
il en est de meme du plus grand commun diviseur et par suite de..
On le verifierait de meme pour f et et ii en est par consequent
ainsi pour tout nombre de K(cz, 3, T); la demonstration est evidemment generale.
Tout nombre qui peut ainsi etngendrer unC corps algebrique
est dit un edlement prim itif du corps. Sito et to' sont deux elements primitifs d'un meme corps, o appartient a K(co) et a un
degre au plus egal a celui de oo'; de meme pour o par rapport to,
il en resulte que les degres de ceux et, par suite, de tous les
elements pirimitifs du corps sont egacux, ce degre commun est
dit le degre du corps. D'autre part, la demonstration precedente
appliquee a K(c) nontre que pour engendrer ce corps on peut
remplacer o) par toute fonction rationnelle a coefficients rationnels
to = 0(o),
pourvu que 0(x) prenne n valeurs distinctes, quand on remplace x
par les n nombres conjugues de ow. On obtient ainsi de nouveaux
elements primitifs a partir de Fun d'entre eux; c'est la seule facon
d'en obtenir. En effet, si les n valeurs h(io) d'une fonction h(x)
ne sont pas distinctes, ces n valeurs sont racines d'une equation a
coefficients rationnels de degre ni mais a racines multiples; done,
l'lmenent du corps h(o), racine particuliere de cette equation, est
de degre inferieur a n et ne saurait etre un element primitif. On
voit en outre que tout element imprimitif est de degre inferieur a
celui du corps, ce qui permet de definir les elementsprimitifs
comme ceux de degre' maximum.
Si dans les jonctions qui constituent K(o), on remplace to
par ses it con2jugues, on obtient n corps, K(cw,), K (o),..., K((o),