Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE IV.

est encore un nombre algebrique. On peut le voir en eliminant
a, 3, y entre cette equation et les equations fondamentales de ces
nombres; ou, ce qai revient au meme, en formant les fonctions
symetriques elementaires de tous les nombres obtenus en renplacant dans cp de toutes les facons possibles a., 3, y par leurs conjugues. Ces fonctions etant separement symetriques par rapport aux
ai, [j, yk sont des nombres rationnels; ce sont les coefficients
d'une equation dont r, est racine; le degre de cette equation est le
produit des degres de a,, y, mais conmme elle n'est pas necessairement irreductible, on peut seulement affirmer qu'on a ainsi un
multiple du degre de im. 11. n'y a pas lieu d'attacher d'importance
au nombre d'irrationnelles distinctes a,, I, car, ainsi que l'a
montre Galois, tout corps alge'brique peut etre engendre pai un
seul de ses e'lements convenablement choisi.
Considerons en effet une fonction rationnelle a coefficients
rationnels de 3 variables (autant que d'irrationnelles qui servent
a definir le corps)
(X, y, Z),
assujettie a prendre des valeurs distinctes quand on y remplace
x, y, z respectivement par les nombres conjugues de c, 3, y de
-toutes les facons possibles; on aura, par exemple, une telle fonction en considerant ux - y + v wz v, z t, e-tant des fractions
convenablement choisies (1). La fonction eLtant choisie, soit oj sa
valetir pour a, 1, y, ce nombre o) est dans K.(a, 3, y) et il en est de
meme de tout nombre de K(o). Pour demontrer la reciproque,
formons le produit
O(w, 2) == lw- (x, Pjr,/,)],
j,k
eitendu a tous les nombres conjugues de 3 et y; <D, d'apres une
(1) Pour montrer la possibilitd de ce choix considerons toutes les diffdrences
possibles des valeurs de cette fonction prises deux i deux et sdparons-les en trois
groupes: celles qui ne contiennent ni u, ni v; celles qui contenant v, ne contiennent pas u; enfin celles qui contiennent u. Pour qu'aucune des differences du
premier groupe ne soit nulle, il suffit de choisir w non nul; ce choix fait, les
valeurs de v qui annulent les diffdrences du deuxieme groupe sont en nombre
fini, on peut donc choisir v rationnel et diffdrent des valeurs precedentes; de meme,
pour le choix de u, et ainsi de suite s'il y a plus de trois irrationnelles.