Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE IV.

Mais alors on a
F(x) x G(x) — f(x) x g(x)- f (x)(x (x)- g (x)-= (x). (().
Si tous les coefficients de FG etaient divisibles par p, il en serait
de meme des coefficients du polynome premier membre de cette
egalite, mais ceci est absurde, car dans le deuxieme membre, le
coefficient 0., 3 du terme de plus haut degre n'est pas divisible
par p, ao et 0 ne Fl'tant pas.
On peut donner des formes plus ou moins diverses a l'enonce
precedent; il en resulte notamment que: si un polynome a
coefficients entiers est divisible par un polynome primaire, le
quotient a ses coefficients entiers. Car, en mettant en facteur
dans les termes de ce quotient leur plus grand commun diviseur,
on peut le mettre sous la forme f(x), f etant primaire; le polynome primitif est done le produit de d par un polynome primaire
a
(produit de deux tels polynomes); done, est un entier, et c'est
ce qu'il fallait demontrer. On peut encore en conclure que si un
poliyzoie a coefficients entiers est decomposable en un procudit
de facteurs dans le domaine des nombres rationnels, on peut
toujours supposer que ses facteurs sont c coefficients entiers.
Remarquons en terminant que ces considerations s'etendent
immediatement a des polynomes a plusieurs variables F(x, y, z). 11
suffit de ranger leurs termes par hauteur, ou ce qui revient au
memne, de faire le changement de variables indique par Kronecker
x = t, y = too, z = t1~,
0o etant choisi assez grand; a chaque terme du polynome en t ainsi
obtenu correspond un et un seul terme de l'ancien polynome
en x, y, z, et reciproquement. Les coefficients sont donc les
memes et l'on a les meres reductions dans le produit de deux
polynomes en x, y, z, et dans le produit des polynomes en t correspondants.
Corps alg6briques.
D'apres ce qui precede, un nombre algebrique a est toujours
racine d'une equation F(x)-o, F(x) etant primaire et irreductible dans le domaine des nombres rationnels; ce polynome
est en outre unique, au produit pres par - I: tout autre polynome