Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

LES NOMBRES ET LES ENTIERS ALGEBRIQUES.

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produit par un facteur numerique; le plus grand commun diviseur
d'un polynome G(x) et d'un autre F(x) irreductible dans le merme
domaine R, ne pent etre que F lui-meme ou une constante numerique. En rapprochant ceci des relations evidentes entre la divisibilite et les zeros, on obtient ce principe d'une application
constan te.
Si tun pol ynoIne G(x) de R admnet un zero d'un polynome F(x) irreductible dans R, G(x) est dicisible par F(x)
et, par suite, adnzet tous les zeros de F ( ).
En effet, le zero commun doit annuler le plus grand commun
diviseur de F et G, qui, etant ainsi de degre non nul, ne peut
etre que F.
Placons-nous maintenant dans le cas du domaine des nombres
rationnels. Si l'on s'occupe surtout des equations et de leurs racines, on peut toujours supposer que, apres reduction des termes
semblables, les coefficients des polynomnes premiers membres
sont des nomnbres entiers premiers entre eux; d'apres une denomination de Gauss un tel polynome est dit pri7maire. L'introduction de ces polynomes est justifiee par la propriete due aussi
a Gauss
Le produit FG de deuxpolynomes primailres est encore un
polynome primaire.
Nous allons montrer qu'il est impossible que les terrmes du
produit soient divisibles par un nombre premier p; separons
dans F(x) les termes, s'ils existent, dont les coefficients sont
divisibles par p, soitf(x) le polynome qu'ils forment
F(x) = f(x) + (x), (x)-= ao x4- ax-1+...
(les a non divisibles par p),
f(x) peut etre identiquement nul, mais d'apres l'hypotthese c?(x)
existe et l'on peut supposer ac o. De meme, pour G(x),
G(x) = g(x) + y(x), y(x) V= 0 - Pi-+....

(1) Dans les cours de Spdciales on demontre ce principe pour le domaine des
nombres reels, c'est le theoreme sur les racines imaginaires conjuguees.