Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE IV.

briques des proprietes des nombres rationnels et des nombres
entiers. C'est surtout de cette extension que nous nous occuperons ici.
Polynomes et 6quations.
Rappelons d'abord quelques notions elementaires sur les polynomes et les equations algebriclues; nous avons cite le theoreme
de d'Alembert, il entraine l'existence de n racines pour une equation algebrique de degre nz et l'o sait que les fonctions symetriques rationnelles de ces racines s'expriment rationnellement au
moyen des coefficients. Les racines communes a deux equations,
ou les racines d'un ordre de multiplicitd determine d'une equation
sont les zeros simples d'un polynome qu'on peut former par des
operations rationnelles a partir des polynomes premiers membres
des equations donnees.
Ces proprietes qui sont vraies, quels que soient les coefficients,
montrent l'importance de la notion de domaine de rationalite.
On appelle domaine de rationalite` de a.,, 2,..., a- l'ensemble
des fonctions rationnelles a coefficients rationiiels de ac, 2,..., ak;
ceci peut l'etendre au cas o'i les a seraient en nombre infini. Si
les coefficients d'une equation sont numeriques, ce que nous supposerons toujours, le domaine de rationalite qu'ils definissent est
un ensemble de nombres; on voit imrnediatement comment, avec
cette locution, on peut enoncer les principes rappeles.
Mais on peut aussi envisager un domaine de rationalite R,
numerique, defini a pr7iori, et les polynomes dont les coefficients
sont dans ce domaine, on dit, pour abrieger, lespolyynomes de R.
On dit alors qu'un polynome de R est irredcuctible dans R s'il
n'est divisible par aucun autre polynome (1) de R. Les polynomes irreductibles jouent en quelque sorte le role de facteurs
premiers dans le domaine; tout polynome qui n'est pas irreductible est decomposable d'une seule facon en un produit de
facteurs irreductibles, en ne distinguant pas un diviseur et son

(1) Dans le cas ou le domaine est l'ensemble de tons les nombres r6els ou imaginaires, les seuls polynomes irreductibles sont tous les binomes du premier
degr6; clans le cas de l'ensemble des nombres r6els, il faut ajouter a ces binomes
les trinomes du second degrd, somme de deux carr6s.