Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

LES NOMBRES ET LES ENTIERS ALGEBRIQUES.

CHAPITRE IV.
LES NOMBRES ET LES ENTIERS ALGEBRIQUES.
Nous allons, dans ces deux Chapitres, appliquer les considerations precedentes aux nombres alge'briques. On appelle ainsi
les racines reelles ou imaginaires d'equations algebriques a coefficients rationnels ou entiers. Bien entendu, nous ne souleverons ici
aucune difficulte au sujet de l'existence de ces racines et supposerons acquis le theoreme de d'Alembert ('). Ces nombres sont, en
somme, les plus simples apres les nombres rationnels et il semble
naturel d'attacher une assez grande importance?a leur etude. Ce
fut d'ailleurs une des preoccupations essentielles d'Hermite qui
voyait dans la recherche des proprietes particulieres ou caracteristiques des nombres algebriques un des problemes les plus importants de la Theoiie des Nombres (2). A l'heure actuelle ce
probleme est loin d'etre resolt; mais une partie de la question a
donne lieu, surtout en Allemagne, a des developpements importants; c'est l'extension h certains ensembles de nombres alge(1) Toute demonstration de ce th6or6me, qui est vrai pour des coefficients
quelconques, repose en gdenral sur l'idee de continuit6, c'est-a-dire sur une definition du nombre irrationnel gdenral, par exemple, au moyen d'une coupure. On
pourrait chercher a montrer l'existence logique des nombres alg6briques et de
leur calcul a partir de la seule idde de nombre entier. C'est ce qu'a fait
M. J. Drach (lans TANNERY, Introduction a l'etude de la Theorie des Nombres,
Paris, 1895.
(2) ( Dans cette immense etendue de recherches qui nous a ete laissee par
M. Gauss ), ecrit-il a Jacobi, l'Algebre et la Theorie des Nombres me paraissent
devoir se confondre dans un m6me ordre de notions analytiques dont nos connaissances actuelles ne nous permettent pas encore de nous faire une juste id6e.
Peut-etre cependant doit-on entrevoir qu'il appartiendra a cette partie de la
Science, constituee ainsi sur ses veritables bases, l'offrir le tableau de tous les
6elments, en nombre fini ou illimitd, dont ddpendent les racines des equations
algebriques, separes en types irreductibles et classds suivant leurs rapports
naturels. ))