Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

60 CHAPITRE III. - ENTIERS ET SYSTEMES D'ENTIERS.
mais alors
k x (pc. d. dM) = I A() A = | (T) I x A(Z)I,
k/= l(Z)[,
on a ainsi une restriction pour le tableau Z, mais c'est la seule et
A etant une matrice quelconque a termes entiers de type
(n - m, in) et Z un tableau a termes entiers d'ordre n- m,
tel que IA(Z)I= k, tout tableau
(T 0\) (M) ( TxM)
A Z ' X )
repond a la question et toutes les solutions du probleme sontdonnees par la formule
X = AM -+- ZN1.
On peut enoncer ainsi le second probleme:
II. Troucer une matrice de type n - i, n) telle que les determinants de ses mineurs aient des valeurs donnees. Si al,
a2,..., an sont ces valeurs et si x,, x2,..., x, est une ligne
quelconque de la matrice cherchee, on doit avoir
ai x -+...- 1n XXn - o,
donc chacune de ces matrices etant constituee par n - I points du
module de zeros C,_- defini par cette equation, est une matrice
de C, _.. Si M, estune base de C,_,, base qu'on sait pratiquement
trouver, les determinants des mineurs de Ml sont
at' Ca2 a1n
d, a2- a* n d=(a,, a2., a,,).
Toute matrice de C,_I est de la formne EM (E a termes entiers)
et les determinants de ses mineurs sont A() x * Toutes les
solutions diu probleme sont donc donnees par la formule
Z x Mi,
d etant un tableau a termes entiers quelconques, nais dont le
determiniant est egal a d.