Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

ENTIERS ET SYSTEMAES D'ENTIERS. 59
ct resolus par Hermite et dont la theorie precedente fournit egalement la solution.
1. Etan t donnee une matrice M a telrmes entiers de type (m, n)
et de rang m, trouver une matrice X a termes entiers de
type (n-in, n) et de rang n - m quiforme avec la premiere
un determinant ayant une valeur donne'e, multiple toutefois
du plus grand commun diviseur de M. On peut traduire ce
probleme par l'equation symbolique
k x (p. g. c. d. de M),
M definit un sous-espace de dimension m et l'ensemble des points
de C qui y sont contenus forme un module dont on sail determiner
une base M, (voir module rectangulaire); on a
M =T x M1, A(T)= p. g. c. d. de M.
Les lignes de M, sont les m dernieres colonnes d'un tableau unimodulaire S-~; les n - n premieres colonnes prises comme lignes
forment une matrice N1 qui, avec la precedente, constitue un
tableau unimodulaire
(M N) ( )= +M IJ.
Il est facile de deduire de la les solutions du probleme propose.
D'une part, tout tableau (x) doit etre egal au produit a droite
du tableau modulaire (N') par un tableau a termes entiers S.
Mais le produit par ( ) de la matrice formee par les mn premieres lignes de Y doit donner M. Cette matrice se compose done
du tableau T borde de n - m colonnes de zeros. On pent alors
decomposer la matrice des n - m dernieres lignes de v en une
matrice A formee par les m premieres colonnes et un tableau Z
forme par les n - z dernieres colonnes, soit d'une facon symbolique
A( Z (N (N '