Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE III.

Le premier de ces plus grands communs diviseurs d est evidemment un multiple du second d'. Pour demontrer la reciproque,
considerons les m equations homogenes a n -+- inconnues
i = ~, Xi/j -...1 ax,- UCiXo,
et cherchons la condition pour qu'elles aient un systeme de solutions entieres ou x0 soit egal a i. On peut prendre pour base du
module de zeros des ' la matrice de type (in + I, i +- i)
O
P
P1
0
V1 Y2 ~... V, O0
alors il faut et il suffit que c0- i. Or, on pent exprimer de
diverses facons le determinant d'un mineur de cette matrice contenant la derniere colonne. D'une part, il est egal a c0 multiplid
par le determinant d'un mineur de P, c'est-a-dire d'un mineur
de S (p premieres lignes, colonnes de rang i,,..., ip). Mais,,
d'apres une propridet connue du determinant adjoint, ce determinant est egal au mineur de S-~ obtenu en supprimant les p premieres colonnes et les lgnes i,..., ip; noLs avons vu que ce
determinant est lui-meme egal au mineur correspondant de A
(suppression des lignes i,,... ip), divise par I A(B) i d. D'autre
part, en raisonnant de mnme sur la matrice P4, on trouve que le
determinant considder est encore egal au quotient par d' du mineur de la matrice des coefficients des y, obtenu par suppression
des lignes de rang i,..., ip, et n, c'est-a-dire, en definitif, du
mineur de A deja trouve. Done - - eL la propriete est demontree (').
On peut encore ranger parmi les problemes diophantiques la
recherche des tableaux a termes entiers verifiant certaines conditions. Nous nous contenterons d'indiquer ici deux problemes poses
(1) On peut notamment appliquer ce rdsultat a l'etude du systeme de congruences xi a; (mod. a;) qu'on rencontre dans I'etude d'une congruence de
module compos6. La condition de possibilit6 est que chaque diffdrence l ai-ai
soit respectivement divisible par le plus grand commun diviseur de a;, a. Comparer aussi cette demonstration avec la note (i), page 53.