Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

ENTIERS ET SYSTEIES D'ENTIERS. 37
La verification en est facile si l'on a mis la base de ce module sous
la forme rduite B: il suffit de resoudre de proche en proche
le systeme d'equations en )i,
"/f - C ill
U/-l = l, m,m- i T ), C^m-_ 1..........................
U1 = ',, C1,, 1,,-1+**+,C
et de verifier si les ) obtenus soln des entiers. S'i] en est ainsi,
les dquations ont des solutions en nombres entiers donnees par la
formule
llX 1 X2... Xn, 1 = 11 -... [lp 1 *... 711 11 x S,
les u etant des indteerminees entieres. En appelant P' la matrice
formee par les m dernieres lignes de S,
I xli... Xn \ = 1 i... p XP P +-t- l... *,, lxP'.
La premiere partie du deuxieme membre est la solution generale
des equations sans deuxieme membre i -=o, la deuxieme partie
est une solution particuliere des equations proposees, c'est une
expression des solutions, dont les analogues sont bien connues
(voir Chap. I, p. I4-15). On voit aussi qu'une partie des calculs
peut encore servir si l'on change les deuxiemes membres.
On pent estimer que la condition ainsi trouvee pour la possibilite de solutions en nombres entiers n'est pas suffisamment symetrique ou elegante. Une autre condition a ete indiquee par
MM. Heger et Smith: pour que les equations (8) aient des
solutions en nombres entiers, il faut et il suffit que le plus
grand commun diviseur de la matrice des coefficients des i
soit identique au plus grand commun diviseur de cette
mene matrice completee par une ligne fornzee des deuxiemnes
membres (4).
(1) Cette condition d'un dnoncd en apparence plus simple que le prdecdent
peut 6tre en r6alite plus dilficile a v6rifier; il faut, en effet, former les determinants des mineurs qui peuvent etre en assez grand nombre et d'ordre assez
'leve. Dans le cas de m = 7, elle est identique a la resolution de l'dquation par
les formules de Cramer et a la vdrification a posteriori que les solutions trouvdes
sont enti6res.