Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

D56 CHAPITRE llI.
donc, en appliquant les resultats etablis dans le cas general,
ax -+- by -= d,
b a
\ x y 1 = 11t X l d dC
Xi YI
Pour que l'equation ait des solutions, il faut que c soit de la
forme )d, c'est-a-dire soit divisible par le plus grand commun
diviseur de a et b; s'il en est ainsi, les solutions sont donnees par
c b c a
x- d + d y =y — i d
Dans le cas de la congruence, les seules valeurs de x importent et
pour avoir toutes les solutions distinctes (mod. b), il suffit de
donner 'a, d- i valeurs incongrues (mod. d).
Passons a un systeme de m equations a n inconnues; nous
supposerons qu'on a fait au prealable l'etude algebrique du
systeme et que les equations consid6rees sont les equations principales du systeme a re'soudre, suppose possible; on a alors nm < n
et le rang de la matrice A des coefficients est m.
Si les equations sont homogenes, leurs solutions sont les points
d'un module de zeros; elles s'expriment au moyen de n —m
indeterminees entieres (il est alors necessaire que n soit plus
grand que m) et d'une matrice dontnous avonsindique une determination pratique (1). Les lignes d'une base P constituent un
systeme de solutions particulieres, qui est appeld par divers
auteurs systeme de solutions fondamentales. II y a une infinite
de tels systenes obtenus en remplacantP par SP(E unimodulaire).
Les memes calculs sont encore applicables pour m equations
non homogenes
(8),1 =,, 2.=..,,Z = U,,;
pour qu'ellesaientdessolutions, il faut etil suffit que (u\, u2,.., utm)
soit un point du module OIL forme par les points (5,, I2,..., m).

(t) La methode de resolution ainsi donnee par adjonction de n —m colonnes
complementaires et r6duction du tableau ainsi obtenu n'est pas, en somme,
diff6rente de celle indiquee par Euler (oeuvres posthumes), signal6e ensuite par
Jacobi et reprise d6finitivement par Hermite (cf. STIELTJES, loc. Cit.).