Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

ENTIERS ET SYSTEMES D'ENTIERS.

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colmmun diviseur de sa base est i et un sous-module d'un module
de zeros si ce plus grand commun diviseur est superieur a I.
Problemes diophantiques.
On peut grouper, sous le nomn d'equations diophantiques (1),
les equations et systemes d'equations dont on cherche la solution
en nombres entiers. Nous nous occuperons seulement ici des
systemes d'equations ]ineaires a coefficients entiers. On peut
ramener a ce cas celui des systemes d'equations et congruences
lineaires; en effet, on peut toujours remplacer la resolution de
l'equation congruentielle a n inconnues
f/(xl, x2,..., Xz) o (mod. a)
par celle de l'equation a n + i inconnues
f(xI, x2,.... xn)- ay = o.
Avant d'aborder le cas general, nous allons appliquer les
methodes et resultats precddents au cas bien connu d'une equation lineaire a deux inconnues, ou, ce qui est equivalent, d'une
congruence lineaire a une inconnue
ax + by = c
ou
ax c (rod. b).
Les valeurs de la forme; -actx by pour x et y entiers
forment un module de nombres dont la base est le plus grand
commun diviseur d de a et b. D'ailleurs, en ajoutant a I la
forme, - x, on obtient sans difficulte la base reduite du module
de points (^,,)
d = r/ dt x {S;
x d xl yl a
C1 (I o
(') Cette denomination n'est peut-etre pas d'une tr6s grande justesse historique. I1 semble bien que Diophante est le premier des g6ometres grecs qui se
soit occup6 des 6quations independamment de leur origine ou signification g6ometrique; mais il ne semble pas avoir toujours fait une distinction bien nette entre
la recherche des solutions entieres et celle des solutions quelconques.