Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

ENTIERS ET SYSTEMES D'ENTIERS.

53

%ions
(6 bis) 01= o, 2 =,...,,1 =
definissent un sous-espace de dimension p-n -m contenant
l'origine. Les coefficients des formes 5 etant rationnels, on peut
choisir p solutions independantes du systeme precedent qui soient
rationnelles et meme entieres. Done, tous les points de C situes
dans ce sous-espace, c'est-a-dire toutes les solutions entieres des
equations (6 bis), forment un module type Cp de dimension p.
Le calcul precedemment fait pour les valeurs des i conduit a
I'expression d'une base de 5p; pour que les E soient nuls, il faut
et il suffit que les ), soient nuls, ce qui donne pour les x les
valeurs
|X1 X2... I Il,... tip || X. x S
Ou
IIX1 ^ 2... x 11= 11 L..., I 1 X P,
P etant la matrice forimee par les p ppremieres lignes de S; cette
matrice est une base de Cp. Les dlterminants des mineurs de P
sont, d'apres la regle de Laplace, des entiers premiers entre
eux (1); il en est de meme de toute autre base SP, les determinants ayant au plus change de signe [E d'ordre m, A(S) = t i].
Alodule rectangulaire. - Pour definir un sous-module de C
de dimension inferieure a n, on peut encore definir le sous-espace
qui le contient par un certain nombre de points entiers independants. Prenons pour cet effet les Im points (aK, a'..., a, )
dont les coordonnees sont les coefficients des E, on aura un systeme de n - nz p equations independantes definissant ce sousespace en prenant pour leurs coefficients p solutions independantes de (6 bis), notamment les lignes de P; soil
(7) ayiYI+ - a 2 —Y.. -- i+Caln = O (i =, 2,..., ),
(L) Une propriete connue du determinant adjoint montre m6me que chacun de
ces mineurs est egal, au signe pr6s, au determinant du mineur de S-1 obtenu en
conservant les m dernieres colonnes et en supprimant les p lignes de m6me rang
que les colonnes conservees de P; il est donc dgal au quotient par I A(B) [ du
determinant du mineur correspondant de A.