Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE III.

mais il est a remarquer qu'au seul point de vue de cette egalite S
et S-l ne sont pas entierement determines; les p premieres
colonnes de S-' dependent seulement des formes rj adjointes
aux 5.
La relation entre les x et les )X peut s'obtenir en egalant les
expressions des coordonnees des points de 31t' a partir des deux
bases M' et B'. On a ainsi
I1 i... Xn 1| X M'l = -... tip.X.,,l B
et
Ilx * * H l... lp )... v,, jx X S.
Done, a tout systime de X, c'est-a-dire a tout point determine
de T1L correspond, si p > o, une infinite de valeurs des x dependant de p indeterminees entieres; si p o, les x sont determines.
Indiquons encore quelques proprietes du nombre entier IA(B)I;
d'apres les proprietes des tableaux d'un module, c'est le plus grand
commun diviseur des determinants, en nombre infini, des tableaux
du module. On obtient de tels tableaux en prenant les mineurs
non nuls deduits de la matrice A des a. Ces determinants sont
done des multiples de ]A(B), mais on peut montrer en plus que
IA(B)l est le plus grand commun diviseur des mineurs de A
ou, suivant une locution abj'ge'e de Stieltjes, le plus gland,,
commun diviseur de la matrice A. En considerant la relation
entre A, S-, et B, on voit qu'on obtient le mineur forme des
lignes de rang 1, i2,., i,, de A en multipliant B a gauche
par le mineur d'ordre m de S-' forme par les 7n dernieres colonnes
et les lignes de rang i,, i2,..., ir,. Done, les quotients des determinants de A par A(B) sont les determinants des mineurs correspondants de la matrice formee par les in dernieres colonnes de
S-'. Ces determinants sont premiers entre eux dans leur ensemble,
car, en appliqulant a regle de Laplace pour le developpement de
A(S-1), on voit que le plus grand commun diviseur des dits
determinants doit diviser | (S-1)I qui est egal a I.
Module de zeros. - Changeant maintenant de point de vue,
considerons, clans un espace a n dimensions, les systemes de
valeurs des variables x; designons toujours par C l'ensemble de
tous les points a coordonnees entieres de cet espace. Les equa