Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

50 CHAPITRE III.
les ri sont ainsi determines de facon unique ('). Ceci pose, repartissons les points de D1L par classes, en mettant dans une meme
classe des points dont la diffdrence appartient 'a 0.' (congrus
suivant le module D31t); cette classification n'entraine pas d'ambiguit: deux points congrus a un troisieme etant congrus entre
eux (A-B, A-C etant dans 31.', il en est de merne de leur difference B-c). On verifie aisement que, pour que deux points de D1i
soient dans une meme classe, il faut et suffit qu'il leur corresponde les memes systemes de r. II y a done autant de classes
que de systemes de r diffterents (2), c'est-a-dire
a a... a,=I A(S) I.
Examinons enfin le cas d'un module de points entiers dont la
dimension n est inferieure a celle de l'espace. Sa base est une
matrice de type (m, n) et de rang mn; elle n'est definie qu'a un
produit pres a gauche par un tableau unimodulaire, de sorte qu'on
peut toujours amener un de ses mineurs d'ordre m (a determinant
non nul) a etre de la forme reduite d'Hermite; ce mineur etant
choisi, cette reduction n'est possible que d'une seule maniere.
Systemes de formes.
Soit un systeme de n formes independantes a n= mn +p inconnues et a coefficients entiers
(6) i =- a,xl + a2.- +... i = 2,..., m
la malrice A des coefficients de type (n, nm) est de rang m.
D'un tel systeme on peut deduire divers modules de points
entiers, soit, en considerant les valeurs de ces formes quand on
donne aux x des valeurs entieres, soit en considerant les valeurs
des x qui annulent les i (ze'ros du systemne), soit encore en
considerant les coefficients de ces formes et de toutes celles de
leurs combinaisons lineaires qui ont des coefficients entiers. Nous
allons etudier ces divers modules et leurs relations.

(1) ),, et rs7 sont le quotient et le reste de la division de y,,. par a',; )m-i
et r,,,_, quotient et reste de la dixision de y,,_- -Aa"' - par aL —_ et ainsi de
suite.
(2) Pour l'utilisation de cette propriete, voir la Note III.