Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

ENTIERS ET SYSTEMES D'ENTIERS.

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une methode pratique de recherche du tableau reduit
d'Hermite.
Comme l'algorithme d'Euclide s'etend aux fractions, la propriete
precedente s'etend au cas d'un tableau T a termes fractionnaires.
Dans l'un ou l'autre cas on pent encore l'enoncer: dans tout
systenme de tableaux a termes entiers ou fractionnaires, il
existe un et un seul tableau de la forme (5) et verifiant les
conditions (5 bis). Ceci permet, notamment, de trouver tous les
systemes verifiant certaines conditions, par exemple ayant un
determinant 3 donne au signe pres; il suffit de chercher tons les
tableaux reduits d'Hermite ayant 3 pour determinant. Siles termes
sont entiers ou si leurs denominateurs sont limites, on ne trouve
ainsi qu'un nombre fini de tableaux, done de systemes; car il n'y
a qu'un nonibre fini de facons de decomposer 3 en un produit de
facteurs (termes de la diagonale principale), les autres termes du
tableau etaut inferieurs a ceux-la, il n'y a choix, finalement,
qu'entre un nombre fini d'arrangements; il en est de meme si 3
est seulement limite superieurement en valeur absolue.
Ce qui precede permet aussi de preciser quelle base particuliere
a etd obtenue dans la demonstration du theoreme fondamental sur
les modules types. Une matrice M du module etant choisie, toute
base est de la forme B x M, B etant un tableau a terLmes fractionnaires (et meme I'inverse d'un tableau a termes entiers), defini a
une equivalence pres. Dans la demonstration, on a choisi la base
particuliere pour laquelle B est de la forme reduite d'Hermite;
c'est ce qui resulte des conditions successives imposees aux termes
de B.
Considerons encore un module quelconque 31t de base A et un
sous-module OIft de meme dimension, done de base SxA, S etant
un tableau d'ordre n a teLrmes entiers, defini a une equivalence
pres; le nombre entier A(S) I etant bien defini, on peut se proposer de lui trouver une signification. Supposons S mis sous la
forme r6duite d'Hermite et soient y.,y2, *,.y,, les coordonnees
relatives d'un point quelconque de 31L par rapport a A; lesy etant
entiers et, etant donnee la forme de S, on peut toujours poser
Illy... y,,ll l=IlI1 =... X |,,tx S++ 1 r... r,,11
(X, ' entiers, o ri < ai),

C.

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