Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE II I.

lonne,..., jusqut'a la deuxieme incluse: on obtient un tableau U
de la forme (5).
Ceci acquis, cherchons les tableaux U'=- SU equivalents a U,
done a T, et de la forme (5). En designant par ca les termes de E
et en developpant les calculs, on constate d'abord sans difficulte
qu'il est necessaire que les c, au-dessus de la diagonale principale (a, i i<j) soient nuls. Mais on doit avoir, puisque E est
unimodulaire,
a aI2.. a=A(S) = — 1
les a etant des entiers sont donc tous egaux a ~ i et meme a + i,
puisque dans U et U' les termes de la diagonale principale sont
positifs. Ces conditions sont c'ailleurs suffisantes et, s'il en est
ainsi, on trouve pour U' une expression de la forme
al o... o
a +- c al. a... o
~U'= + 2a 1 2 2 2
a= +ala+ ai a + a... o........................
a,,3- a12l y-lt2-1+...t+a1 a2+2 _ a2 2 7-1 +,, +I a, 2. al
On peut alors determiner successivement les entiers
a ta, O.2..., a,- al- a2 2- 2... a
3, 3. It 3, 4, 711,..,
de facon que les termes de U' verifient les egalites (5 bis) et ceci
n'est possible que d'une seule facon. II faut pour cela faire des
divisions par les ac, c'est-a-dire encore chercher des restes
minima positifs, module a'. [On pourrait aussi chercher des
restes minima absolus, c'est-a-dire faire verifier aux termes de U'
les conditions
( 5 ter) I a I - a; (<j
il y aurait alors ambiguite de signe pour ceux des termes, s'ils
existent, pour lesquels la condition precedente est une egalite ().]
II est a remarquer que la demonstration ainsi faite conslitue

(1) On pourrait aussi faire une permutation de lignes dans la forme (5) et
definir par exemple, une forme r6duite oft les termes au-dessous de la diagonale
principale seraient nuls.