Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

ENTIERS ET SYSTEMES D'ENTIERS.

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dont les termes ve'ifietnt les conditions
i o _<a< l,, o< a.l <,..., oa< <a',
(5 bis) a3,..., o < a,
0o a- < a'-l.
Un tel tableau sera dit mis sous laforne reduite d'Hermite.
Pour arriver a ce resultat nous allons proceder par cheminement
en construisant a partir de T -n tableau equivalent T', a partir
de T' imn tableau equivalent T" et ainsi de suite; pour plus de
simplicite nous designerons les termes de ces differents tableaux
toujours par aJ. Ceci convenu deduisons T' de T par un changement de lignes, ce qui est une equivalence, de facon que dans T',
aC soit le plus petit en valeur absolue des termes de la derniere
colonne a'. Deduisons T" equivalent a T' par l'egalite
I O... O X0 0... I -X n-1i
O 0... 0 ~1
le signe du dernier terme et les x teant choisis de facon que dansT",
aZ soit positif et tous les a' positifs et inferieurs a a". Recommencons sur T" les deux memes operations que sur T et ainsi de
suite; ceci revienlt faire sur les entiers de la derniere colonne
de T, les operations du plus grand commun diviseur. On finit par
avoir un tableau ouf les termes a's sont nuls, excepte a1 qui est
positif. En considerant dans ce nouveau tableau les n-i termes
de la (z-i))i'"le colonne, on peut recommencer les operations precedentes, en permutant les n-i premieres lignes et multipliant a
gauche par des tableaux:
I o... -yi o
o I... — y2 o
o0.. -~ - o
0... O 1
On peut ainsi annuler tous les termes de la (z- )il )6e colonne audessus de la diagonale principale; de meme pour la (/t-)i/me co