Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CIIAPITRE III

Posons
=(a, d), (bd), = (c, d)
et considerons les quotients du deuxieme membre par ces trois
nombres
I (iJab 7)-qa \a,b,c! d) ab,c d
( al, b, c,c) = (- ' a,, =,- I,
la derniere egalite etant obtenue en appliquant le principe prea d
cedent, puisq e - et - sont premiers entre eux. Chacun des
quotients ainsi obtenus est entier et leur plus grand commun
diviseur est
((, b, c d a,, c, b, c a,, b, c i a
= (, -I.
Modules de points entiers.
Considerons maintenant, dans un espace 'a n. dimensions, un
module DTL forme de points dont les n coordonnees sont respectivement des entiers. Les inegalites (a) du theoreme fondamental
n'ayant toujours qu'un nombre fini de solutions, un tel module est
necessairement type. C'est d'ailleurs un sous-module du module C
conslitue par tous les points dont les coordonnees sont des nombres
entiers.
Si lL, est de dimension t, ses bases forment un systeme de
tableaux d'ordre n a termes entiers. Iour n > i, ily a une infinit
de telles bases, mais on peut en distinguer une, d'une forme particulierement remarquable. C'est ce qui reisulte de l'important
theoreme dui a Hermite:
Un tableau a te rmes entiers T est equivalent & un tableau
et un seul de la forme
aI 0 0... 0
al o o... o
(5) U 2 a= a 0 (a; >o),
aCl, a?, a,,... a,,