Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE III.

marquons d'abord que dans l'expression (a, b,..., 1) on peut
permuter les nombres d'une facon quelconque et supposer par
consequent que I est le plus petit d'entre eux. L'algorithme
d'Euclide pour la recherche de S se deduit alors de l'egalite manifeste
(a, b,..., 1)= (a- ql, b - q'l,..., 1).
Si q, q',... sont les quotients de a, b,... par I on definit ainsi 6C
par des nombres inferieurs aux precedents. En appliquant le
meme procede avec le plus petit des nombres de la deuxieme
parenthese et ainsi de suite, on deiCnit finalement OD par un seul
nombre S (qui est le plus grand commun diviseur cherche) et
des o. 11 est a remarquer que cette methode donne en mnzme
temps l'expression de 3 comme terme de 3D (theoreme de Bezout).
II n'etait pas sans interet de rappeler cet algorithme, car c'est i lui
que se ramene finalement la resolution pratique des problemes
que nous traiterons dans la suite de ce Chapitre.
Les demonstrations et proprietes precedentes sont encore
valables pour la recherche des multiples et diviseurs communs a
plusieurs fractions supposees toutefois en nombre fini. II suffit de
remarquer que les elements des modules 31L et CD sont des fractions dont le denominateur est limite superieurement. L'algorithme
d'Euclide s'etend egalement, en remplacant dans l'enonce le quotient de a par I par la partie entiere de '
Les diverses proprietes de la divisibilite des entiers et notamment la recherche du plus petit multiple commun peuvent se
deduire de l'existence ainsi etablie du plus grand commun diviseur
et du plus petit multiple commun; il est bon d'y ajouter les proprietes immediates, vraies pour un nombre quelconque d'entiers
a, b,c = l a,, bc,
(a, b, c) ((a. b), c),
I a, kb, Xcl= ),la, b, c\
(2) I, bi ) 'b (), entier),
(,ca,? k)c):?,(a, b, c)
et aussi, puisque l'existence de. et de S a ete etablie independamment, la propriete qui pent servir de lien entre eux: la