Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

ENTIERS ET SYSTEMES D'ENTIERS.

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multiples (1) d'un nombre. qui est par consequent le plus petit
des multiples communs des nombres a, b,..., 1. Nous emploierons pour representer ce plus petit multiple commun la notation
de T.-J. Stieltjes, = | a, b,..., ll.
Cette propriete du plus petit multiple commun permet de
trouver celle du plus grand commun diviseur en cherchant les
multiples communs des diviseurs communs. Mais on peut aussi
proceder directement; soient des entiers a, b,..., peut etre en
nombre infini, et considerons le module cD de nombres forme a
partir de ceux-la par addition et soustraction. C'est l'ensemble des
nombres
xa -+-yb -4-... (x,y,... entiers quelconques),
il est identique a l'ensemble ces multiples d' un certain nombre o
qui, appaitenant au module, peut etre mis sous la forme pmdecedenite
8 - ua -+ b —....
Tous les diviseurs communs de c, b,... sont des diviseurs de tous
les nombres de OD, done de o et reciproquement. Nous emploierons
encore pour represenLer o qui est le plus grand des diviseurs
communs de a, b,.... la notation de Stieltjes
(a,b,...).
Toutefois, nous emploierons cette expression indiff6remment, soit
pour representer S lui-meme, soit pour reprdsenter l'ensemble
des multiples de o, c'est-A-dire (0. Si 6 =- (C3 identique a l'ensemble
des entiers), les nombres a, b,... sont dits prenmiers entre eux
dans leur ensemble.
Nous avons etabli l'existence de p. et S sans donner de
methode pratique pour les determiner. Pour trouver le plus grand
commun diviseur d'un nombre fini de nombres a, b,..., I, re

(1) Si l'on incorpore h cette demonstration celle du theoreme sur les modules
types appliqu6e a ce cas particulier, on obtient la dcmonstration donn6e par
Stieltjes (loc. cit.). II est ia remarquer qu'on se sert ainsi de 'algorithme de la
division.