Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CIAPITRE III.

CHAPITRE III.
ENTIERS ET SYSTEMES D'ENTIERS.
Dans les Chapitres precedents, nous n'avons utilise parmi les
proprietes particulieres aux entiers que la seule notion de partie
entiere d'un nombre quelconque, qui se confond avec celle de
quotient a tune utnite pres si le nombre est une fraction. Nous
allons montrer d'abord comment les principes generaux de la
theorie des modules permettent de retrouver les principales proprietes connues de la divisibilite des entiers et certains resultats
plus recents de la theorie des equations indeterminees (').
Divisibilite.
Une premiere remarque immediate, mais fondamentale, est que
si un module de nombres est forme uniqlement d'entiers, il est
necessairement type, puisqu'il n'a pas d'elements infiniment petits
(ou voisins de l'origine); il est donc identique a l'ensemble des
multiples d'un entier a, c'est-a-dire a tous les nombres xa, x etant
un entier quelconque, positif, negatif ou nul.
Proposons-nous d'abord de trouver l'ensemble des multiples
communs a plusieurs entiers a, b,..., 1. Cet ensemble forme un
module ~L, la difference ou la somme de deux multiples communs
teant encore un multiple commun. Donc il est forme par tous les
(1) On trouvera ces rdsultats exposes a un point de vue different clans 1'Essai
sur la theorie des nonbres de T.-J. STIELTJES (Premiers elements). Stieltjes y
donne aussi certains rdsultats de M. Smith, qui ne seront pas traites ici et qui
se rattachent plut6t h l'dquivalence des formes quadratiques et bilineaires, multiplication d'un tableau a droite et a gauche par des tableaux modulaires symetriques ou meme indepenclants (cf. Chapitre I, note de la page ii).