Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE II.

tableau a termes entiers
P=SA ( A(S) o,
P = SA
S a termes entiers.
La condition A(S) Z o est necessaire pour que P soit un veritable
tableau. Parmi ces tableaux, il y en a en general (sauf pour n = I)
une infinite qui sont des bases; ils soni donnes par la propriete:
L'ensemble des bases d'un module t)ype est identique a
l'enseinble des tableaux equivalents a l'une d'elles, ou encore
folnme un systeme de tableaux.
Si Al et A sont deux bases, A, est un tableau du module de
base A, done
Al =SA et A = S-IA.1,
maias A est aussi un tableau du module de base A,, done S-' doit
tre ta termes entiers, ce qui exige que S soit modulaire. Reciproquement tout point de., a, par rapport a une base A, des coordonnDes relatives entieres (xi, x,..., x,); par rapport a un
tableau equivalent SA, il a pour coordonnees (yy, y..., y',)
definies par
||J'1 Y2 *. *,,/| X SA = 1 i x*. |. XI 11 X A
ou
ILY1 )'2, I1 = 1 | ] i rX2..., IIX -1;
S-1 etant a lermes entiers, les y sont encore des nombres(1)
entiers.
De ceci on deduit notamment qu'on peut, dans une base,
changer l'ordre des lignes, ce qui elait d'ailleurs evident a priori.
Le determinant d'un tableau du module est un multiple de A(A)
et ne lui est egal, au signe pr/s, que si ce tableau est lui-mme
une base. On peut done encore dire que les bases d'un module
sontt les tableaux de deter'minant minimun (2).
Pour un module type quelconque de dimension n<(n, toute
(1) Cette d6monstration ne difTere pas essentiellement de celle qui montre
qu'u:ie substitution inodulaire transforme un systeme d'entiers en un systeme
d'entiers ct reciproquement.
(2) Dans le cas it =, la base est unique au signe pr6s; dans le cas n = 2, si
'on suppose que le plan represente une variable complexe, on a la propriete
connue des systemes de p6riodes d'une fonction elliptique.