Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

THEORIE DES MODULES DE POINTS. 35
Considerons encore un nombre irrationnel a et le module de
nombres
xa -y (x, y entiers).
Les nombres de ce module, comprenant a et i, ne peuvent etre
de la forme k/a. et le module n'est pas type. On peut done trouver
une infinite d'entiers x, y tels que
Ixa -Y I < on a.< --
C'est dire qu'on peut trouver une infinite de fiactions ' s'approchant d'un nombre irrationnel donne de moins de -. C'esi un
cas particulier d'une propriete trouvee primitivement dans la
theorie des fractions continues et demontree ensuite par
Dirichlet ('). En considerant a comme l'abscisse d'un point sur
une droite, on retrouve l'exemple precedent; on peut encore
considerer a comme une abscisse curviligne sur un cercle, la longueur de la circonference etant l'unite. Les nombres xac-y,
sont alors les abscisses des sommets de la ligne brisee reguliere
d'angle au centre a; ces sommets forment un ensemble partout
dense sur le cercle.
Tableaux et matrices d'un module.
Reprenons l'etude directe d'un module type A, en le supposant
d'abord de meme dimension que l'espace. Tout point de, s'obtient en multipliant une base A a gauche par une matrice de type
(i, 7) formee d'entiers. Donc, tout tableau 1P du module, forme
de n points de, s'obtient en multipliant A a gauche par un
(') Dirichlet demiontre, en outre, qu'on pent trouver de telles fractions, x ne
d6passant pas -, ce qui revient encore a dire qu'on peut approcher de a de
moins de -. Dans certaines applications, notaminent pour les periodes de fonctions, la proprietd ci-dessus peut remplacer celle de Dirichlet. On peut encore
considerer la propriete de Dirichlet comme donfaant, pour un module type determin6, une limitation inf6rieure de s suffisante pour qu'il y ait des points du
module verifiant les conditions (i). A ce point de vue, elle se gdenralise ais6ment
en remplacant (i) par (i bis) et en prenant un espace de dimension quelconque;
elle constitue alors l'un des thdor6mes de M. Minkowski, que nous etablirons
plus loin. On pouira aussi comparer ceci avec un raisonnement de J. Tannery
(Introduction a la theorlie des fonctions, t. I, p. 38-39).