Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

34 - CHAPI'InE II.
niere et en comparant aux conditions de deinilion de l'avantderniere ligne de B, on montre de memne que Z,,n_ est nul. Et
ainsi de suite, tous les z sont nuls; done, tout point de m^ a des
coordonnees de la forme
|I yl y *.* y 11 |,, l= ei e2... e,, \\x B,
ce qui prouve que B est une base de ilb, qui est type. I1 en resulte
que % est aussi type, et BxM en est une base, en designant par M
la matrice de JL choisie pour definir l'). II est a remarcuer que la
demonstration precedente fournit un moyen, au moins theorique,
de' deduire de toute matrice M du module une base bien determinde.
De la propriete generale ainsi demontiee, resulte une consequence n6gative assez importante: Si un module dans un espace
a t dimensions n'est pas type, il y a une infinite de ses points
vertifiant les inegalites
\p\l<, I <2 | <-, ** * \Pl <
O'u
| PI- 1- <, I < - | P (2 | < Pfi-n I <
( to,,... (),o) etant un point quelconque du Imodlule.
C'est ce qui se produit, en particulier, pour un module de
points A sur tne droite, isomorphe holoedriquement d'un module
type de points de dimension 2. (Pour avoir une telle correspondance, il suUfit, comme dans l'exemple cite, de projeter les sommets d'un reseau de parallelogrammes sur uine droite convenablement choisie.) I1 y a alors une infinite de points de % dans tout
intervalle (- s, -- ) entourant l'origine; il en est aussi de meme
pour tout intervalle (J., a. -- ) de la droite; car si a est un point,
on tin nombre, de QA, compris entre -4 et +, ii existe trois
points ()- i)a,, a, () 4- i)a, de JA (A entier) compris, au sens
large, dans l'intervalle (a., a -4- -^v); d'attre part, il y a une infinite
de points de L distants de )\a de moins de I a et, par consequent,
compris dans l'intervalle. Les points de JL forment un ensemble
partout dense (') sur la droite.

(1) 11 n'en est pas ndcessairement de m6me pour un module type dans un plan,
nmeme de dimension 2; on le constate ais6ment en consid6rant le module forme
par les points ayant pour abscisses les nombres entiers et pour ordonntes les
nombres rationnels (voir la Note I).