Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE II.

sous-espace contenant L (tableau, si A est de dimension ii). Les
inegalites <yil < e entrainent des inegalites analogues pour les
coordonnees absolues pi < ings, g etant Ie maximum des valeurs
absolues des termes de la matrice; elles ne sont done aussi verifiees que par un nombre fini de points de &. Nous allons maintenant supposer que la matrice est formee de in points du module
Al, A2,..., A, et raisonner sur le module ilb forme des points
(yi, Y2,..., y7n); 1)l comprend les points (i, o,..., o),
(o,, o,... o).... Considerons les points de i'b verifiant les
conditions
o< yj < I, = Y-3 = Y... = y,,= o,
ce sont des points du sous-espace de dimension i defini par l'origine et le point Ai. Ces points, ayant des coordonnees de valeur
absolue inferieure a i, sont en nombre fini; il en existe au moins
un qui est (i, o,..., o). On peut done choisir parmi eux celui
pour lequel y, est le plus petit, soit (a,, o, o,..., o); ce point
est bien determine. ConsideIrons alors les points de lib verifiant
o y < a, o <y2 <I, Y3- --.=y,, = o;
ce sont des points du sous-espace de dimension 2 dcefini par
A, Ai, A2. Le meme raisonnement est toujours valable, il y a au
moins un point (o,, o,..., o) vdrifiant les conditions et il n'y en
a qu'un nombre fini; on peut done choisir celui pour lequely, est
le plus petit, soit
( ib, b2, o,..., o).
Ce point est encore unique, car s'il en existait un second
(b'l ba, o,..., o), necessairement b' = b2, et, en supposant
b' > b, le point
(bl, bl, o,...) - (b, b2, o,...) = ( - bl, o,...)
appartiendrait encore a 'lb, sa premiere coordonnee serait positive
et inferieure a a\, ce qui est absurde, si elle n'est pas nulle. En
considerant les conditions
o-y1 < ai 0 < a2, 0 <3 4 =.. = y - = o,
on peut choisir un point (c, c,, c,, o...) et ainsi de suite, jus