Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE II.

ze soient veri/iees que par un nombr'e fini ce points
(p1, p2, *., pn)
de J,,, quel que soit positif; il suffit qu'elles n'aiezt cqut'un
omnbre fini de solutions pour un nomnbre ~ positif donne.
Faisons d'abord quelques remarques au sujet de l'enonce:
d'apres ce qui a ete dit str la continuitd de la distance generalisee
et la limitation du corps caracteristique, on peut remplacer les n
inegalites precedentes par la seule inegalite
(2 his) S(OP) < s,
S etant une distance generalisee quelconque. 11 n'est meine pas
necessaire que S verifie toutes les conditions de M. Minkowski, et
l'on peut evidemmnent remplacer la condition par celle qu'il y ait
seulement un nombre fini de points de A dans un domaine borne
entourant l'origine; domaine, quelconque pour la condition necessaire, choisi a~priori pour la condition suffisante. Ceci montre, ce
que prouvera d'ailleurs aussi la demonstration, que, dans I'enonce,
le choix des coordonnees absolues ou relatives est indifferent.
La condition est necessaire: si, par rapport a une base A, tout
point (p1, p. *., pn) de & a pour coordonnees des nombres
entiers (x,, x2,..., x,,), les x sont des fonctions lineaires et
Iiomogenes desp (premier Chapitre); les inegalites (2) entrainent,
par suite, en dcsignant par G une limite superieure des coefficients des fonctions lineaires
I| Xi < In G (i = i, 2,..., n)
et ces nouvelles egalites ne sont verifiees, quel que soit s, que par
un nombre fini de systemes d'entiers, c'est-a-dire de points de,&.
Pour montrer que la condition est suffisante, etablissons d'abord
que, si elle est verifiee pour un nombre donne e, elle l'est aussi
pour tout autre nombre s'. Ceci est evident pour s' inferieur 'a,
verifions-le pour kE, k e-tant un entier. Supposons l'espace reel et
consid6rons les (2 k)" points
(el, e2,...,,en ),
- k ei < k (ei entier);