Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

THEORIE DES MODULES DE POINTS.

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par rapport a A, des nombres entiers apparliennent au module,
car ils sont formes, a partir des points de A, par addition et soustraction (1). En plus, ces points forment a eux seuls tn module de
dimension n, ce qui est evident si l'on considere leurs coordonnees
relatives par rapport a A. Nous arrivons done a cette conclusion,
deja indiquee a propos de la droite, les modules les plus simples
de dimension 7, dans un espace a n dimensions, sont formes des
points (pIP2,.., p,) definis par
1 pi p2 *. pl, 1 =| 1 x2 *. Xn xX A (xi entiers),
A etant utn tableau quelconque; il appartient d'ailleurs au module
ainsi forme. On a un resultat analogue pour des modules de
dimension m2 inferieure a celle de l'espace, il suffit de supposer
que A est une malrice. D'une facon geinerale, nous dirons qu'u/n
module 31EL de dimension/ m dans un espace n est type, s'il
existe une matrice A de type (in, n) et de rang mn telle que
tout point du module soit donne par I'galite p7ecedente. La
matrice A sera dite iune base du moduele.
I1 peut se faire lque la definition d'un module determine ne mette
pas en evidence imlnedialement l'existence d'une base; il est alors
utile d'avoir un criterium pour reconnaitre a priori si le module
est type et un procede, au moins theorique, pour former une base.
C'est a quoi repondent l'enonce et la demonstration suivants dont
les applications ulrteieures montreront 'importance (2).
THORiEME. - Pour qu'un module dans un espace a n dimensions soit tpe, il faut que les inegalites
(2) |Pl[ < ~, I P I < P2, * I, P/ <
(1) Dans le plan r6el, par exemple, ceci revient a dire que si A et B, non en
ligne droite avec l'origine, font partie d'un module, le quatri6me sommet du
parall6logramne construit sur OAB et tous les sommets du r6seau qu'on en deduit, font partie du module.
(2) II ne suffit pas, en effet, d'avoir un crit6rium quelconque, mais, autant que
possible, un crit6rium qui s'applique h d'autres exemples qu'a ceux qui ont 6et
spdcialement fabriques pour en 6tre des applications. Dans le cas pr6sent, c'est
le theor6me qui a 6et fait en vue des applications; j'y ai ete conduit, en effet, par
la consideration de propri6ets diverses, dont les dlmonstrations pr6sentaient des
analogies manifestes (bases des entiers d'un corps, d'un ideal, des unitds; pdriodes
des fonctions, etc.).