Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

THEORIE DES MODULES DE POINTS. 27
l'un d'eux, 0, comme origine, les coordonnees des points sont de
la forme kca, k etant un entier quelconque. Nous avons lh un
exemple de module de points dans un espace a une dimension;
c'est memne l'exemple le plus simple, a part celui forme parla seule
origine; car, si un module comprend O et A,, il complend necessairement A,, tel que A, A2 =OA,,.... Imaginons cette meme
droite et ces m emes points dans un plan rapporte ac deux axes de
coordonnees Ox, Oy, distincts de la droite; les coordonnees des
points A sont de la forme (koa, k/). Nous avons, cette fois, un
module dans un espace a deux dimensions, il est isomorphe
holoedriquement au precedent, mais n'en est pas non plus distinct
au point de vue geomiettique.
Considerons encore dans un plan un quadrillage illimite, ou un
reseau de parallelogrammes, et rapportons les points de ce quadrillage a l'un d'eux, 0, conmme origine, et iI deux axes Ox, Oy.
Les coordonnees sont de la forme (tce ~- u.', itt -+ v/'), C et v
etant des entiers quelconques; les points recouvrent cette fois tout
le plan (1). Projetons-les sur une droite passant par l'origine, les
projections ont, pour abscisses sur la droite, (p q- c/), elles
forment un module isomorphe au precedent, meme holoedriquement, s, s sur toute parallele a la direction des projetantes, il n'y a
au plus qu'un seul point du quadrillage (il suffit pour cela que
cette direction ait, par rapport a deux droites du quadrillage, un
coefficient angulaire irrationnel). Mais, cette fois, la contexture
geometrique des deux modules est tres difftrenLe: tandis que,
pour le premier, on peut fixer une limite infiirieure a la distance
de deux points, il n'en est plus de meme du second, ainsi que
nous le verrons, d'une facon precise, par la suite. On voit immediatement comment l'exemple precedent s'etend a l'espace a trois
dimensions (reseau de parallelipipedes) et meme a l'espace a n.
En projetant ces modules sur des espaces de dimension moindre,
on obtient toute une premiere categorie de modules que nous
appelleronsJ/iis, les seuls que nous etudierons en detail.
En se reportant aux deux premiers exemples, on est conduit a
une premiere distinction entre les modules de points L d'un

(1) Cette figure geometrique est identique aux reseaux de Bravais (voir
H. POINcARE, loc. cit.).