Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE II.

La notion d'isomoiphisme, qu'on definit pour des groupes
abstraits quelconques, s'etend par consequent aux modules;
rappelons la definition applique e a ce cas particulier: un module
de points L est dit isonmoiphe a tn module de points SMb, si l'on
peut etablir entre leurs elements une correspondance tclle que (1):
I~ A tout point de ill) corresponde un et un seul point de JL;
2~ A tout point de CA corresponde acu mooins un point de ilb;
30 A la somme et a la difference de deux points de ibo correspondent la somme et la difference des points correspondants de A,.
L'isomorphisme est dit holoedrique s'il est reciproque, c'esti-dire si Ib est aussi isomorphe 'a, ou encore si, a tout point
de Jo, ne correspond qu'un point de i'i; deux modules, isomorphes
holoedriquement a un troisieme, le sont aussi entre eux. Si l'isomorphisme n'est pas reciproque, on le dit meriedirique. Mais,
meme dans le premier cas, il n'y a pas toujours lieu de remplacer
l'etude d'un module par celle d'un module isomorphe. Cette
correspondance peut n'etre due qu'a un changement de notations
(par exemple un changement de coordonnees), et alors les figures.
geometriques sont les memes, a des deplacements ou des transformations simples pres. Cependant, de meme qu'il y a interet a
considerer un systeme de deux figures egales, il peut y avoir
interet a differencier des modules isomorphes consideres simultanement; par exemple, les multiples de 2 ou de 4 sont des modules
isomorphes, mais, consideres simultanement, ils ont des proprietes
differentes. II peut se faire aussi que la difference soit plus profonde, les aspects geometriques etant dissemblables et l'isomorphisme ne traduisant qu'une ressemblance de constitution.
Quelques exemples simples vont nous permetire d'illustrer ces
divers cas et de prevoir les distinctions qu'il y aura a faire par la
suite.
Imaginons d'abord, sur une droite, une suite de points illimitee
dans les deux sens...,, A2, Ai, A, A,...,
la distance de deux points consecutifs teant constante. Prenons

(1) Les deux modules n'ont pas le meme role dans cette definition. L'etymologie d'isomorphe justifie l'ordre adopte: o a une constitution analogue a celle
de 1Jb, mais lib peut etre plus complexe que icL.