Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

22

CHAPITRE I.

continuite de la distance generalisee; en outre, il est borne, une
limitation de S(oM) entrainant une limitation de la spanne. La
surface caracteristique est la frontiere cd corps ('), car c'est l'ensemble des points limites a la fois pour l'ensemble et pour l'ensemble
complementaiie.
Pour trouver ces premiers resultats, nous n'avons utilise que la
premiere propriete (5) et la continuite de f. On peut aussi traduire
en proprietes geometriques du corps caracteristique les deux dernieres conditions. La deuxieme condition pour )= — peut
s'enoncer en disant q(ue le corps et la surface sont syme'triques
palr rapport a 1'origine, c'est-a-dire renferment ' la fois
(xi, x2,..., x,,) et (-x,, -x2,..., - xn). Enfin les conditions (2) pour ) > o et (3) entrainent ce fait que si deux points A, B
sont dans le corps, tout point du segment AB est dans le corps et
meme, au sens etroit, si l'un des points est interieur au sens
etroit (2). C'est ce qui resulte de ]'inegalite (pour t > o)
( - t -: -t(-i) -I- tf(i).
M. Minkowski exprime ce fait en disant que le corps est nulle
part contcave (il reserve le mot concexe pour le cas plus special
ou aucun segment de droite n'est situd sur la surface). Le segment
AB dtant un cas particulier d'un chemin conlinu, le corps est d'un
seul tenant et simplement connexe. Comme exemples de corps
caracteristiques dans l'espace a trois dimensions, citons: la
sphere pour la distance ordinaire, le pacallelipipede pour la
spanne (IXI, IYI, |1 l)i et I'octaedre potr l'ecart. En supposant que cet espace provient par changement de coordonnees
de l'espace semi-reel (x, y + iz, y — i), on trouve pour corps
caracteristiques: encore la sphere, un cylindre ciraculaire
ou elliptique limite a deux bases, (Ixl, Vy2~- 2), et deux
cones ayant leurs sommets sur ox et une meme base dans le plan
des y, z.

(I) Voir sur ces notions et d'auLres analogues de la thborie des ensembles, par
exemple le Cours d'Anzalyse de M. Jordan.
(2) Cette propriete est susceptible d'une reciproque facile a etablir et qu'il ne
m'a pas paru utile de d6velopper ici.