Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

20 CHAPITRE I.
J. Tannery. Citons encore l'ecart (4) de M. Jordan, somme des
valeurs absolues des differences des coordonnees
f(ti) = l - il.
En partant de ces exemples, on peut obtenir d'autres distances
generalisees. Remarquons cue, pour chacun d'eux, la distance est
seulement fonction des valeurs absolues des differences des coordonnees
f( tOi) = Y(i l, Ij l),
is, [2,... 5,r etant les differences reelles et ^ ', q,,..., ^ms, ls ls
couples de differences imaginaires conjuguees. D'une part, remplacons 1ij et \rjjlI paL Ail] i|, u'jl -j, les A et les.u etant r + s constantes positives donnees. D'autre part, faisons un changement de
coordonnees
I1 ut... ItI 1 = 1 x... x,, I1 x A, M(A) o,
A etant choisi de facon que les x soient reels. En considerant
dans o les E et les 'q cornme des formes lineaires des x, on obtient
ainsi une fonction de n variables reelles
(6) F(xj,X2,..X,^) (i\i, \)
= ~(l;<hil, l^/'yl)
qui verifie encore les conditions imposees. Elle est reelle, positive
et definie pour tout systeme de valeurs des x, car a ce systeme
correspond dans f des valeurs des u,
^A1 tl *... ).rr,.LI' l, P-il, *., s * s s s,
qui appartiennent bien a l'espace considere. D'autre part,f ne peut
s'annuler que si toules les valeurs precedentes et, par suite, les x
sont nuls [puisque A(A) o]; l'homogeneite et le degre se conservent evidemment. Enfin, si ]'on remplace xi par xi-+- x on
(2) Ces deux exemples pourraient etre conside6rs comme des cas particuliers
de
f ( i) = [S I l,"]0,
le premier pour t infini, le deuxieme pour o -=I. L'expression generale est aussi
une distance gdn6ralisde pour o > i, mais la verification en est plus malaisde.