Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

INTRODUCTION ALGEBRIQUE. 19
exacte1 on peut obtenir une limitation superieure donnee des u
par une limitation convenable de /. En effet, considerons les
valeurs de u telles que I, 1u2 + [ u ' +... -- u -1 i, ces valeurs
sont des fonctions continues de n- i variables; f est une fonction continue, definie et positive des Inemes variables, elle a un
minimum g qu'elle atteint et qui, par consequent, n'est pas nul.
Mais alors il suffit de prendre f inferieur a ge pour pouvoir affirmer
jque les Iu ne deipassent pas s. Car s'il n'en etait pas ainsi, le
nombre p lel que
I w1 l ~- It 2 +.. 4- | 1 - p2
serait superieur ou egal a s; mais d'apres ce qui a ete dit,f(d i)
devrait etre au moins egal a g, done f(uz) au moins egal a pg et a
fortiori a eg, ce qui est absurde. On peut encore traduire ces deux
proprietes en disant que: ELtant donnees deux distances generalisees, toute liUite superieure pour l'une entraine une limite
sutperieur'e pour 1'autl'e, et reciprouement.
Exemples de distances. - Nous avons obtenu les conditions (5)
en traduisant algSbriquement certaines proprietes de la distance
geometrique. L'expression analytique de cette distance verifie
evidemment ces conditions (5); il en est de menie de son extension immediate a i'espace semi-reel general
f/( ) = =(I 12 -2+- l t2 12 -..)
la sommnne tant seulement etendue aux valeurs absolues des coordonnees. Les deux premieres proprietes sont immediates, on
verifiera la troisieme en elevant au carre les deux membres de
I'inegalit te effectuant les reductions. On a un autre exemple de
distance en prenant S(AB) egal au maximum des valeurs absolues
des diffdrences de coordonnees
f( ui) = maximum de (I u,,j I,...)
ici encore la verification est immediate et resulte de la propriete
bien connue de la valeur absolue d'une somme. Cette distance
est appelee spanne (4) par Minkowski et distance 7reduite par

(1) La tracuction litterale du mot allemand serait empan ou longueur de la
main ouverte du pouce l'index.