Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

INTRODUCTION ALGEBRIQUE.

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on plus generalement, en ne supposant pas les axes rectangulaires
[F(cai- Pi)B,
F etant une forme quadratique definie positive. Mais il n'est pas
toujours necessaire d'employer cette fonction precise et notamment
pour les questions de voisinage, on peut utiliser une fonction des
differences des coordonnees simplement assujettie a devenir infiniment petite en meme temps que ces differences. Pour se rapprocher plus de la notion de distance geometrique, on peut en outre
s'imposer que cette fonction soitindlpendante del'ordre des points,
s'additionne pout des segments places bout a bout sur une mme
droite et enfin conserve la droite comme plus court chemin.
On est ainsi conduit aux conditions enoncees (4) par M. Minkowski dans sa Geometrie clel Zahlen et que je cite, d'apres lui,
avec quelques restrictions afin de comprendre le cas d'un espace
semi-reel: on appelle distance gelneralise de deux points A, B,
une fonction des differences des coordonnees des points
S (AB) = /(Ci- Pi),
cette fonction etant re'elle, definie pour deux points quelconques
de l'espace considere et telle que
f= o entrainant Ui= 0,
(2) f( u=) = )f(t) ( reel),
I(3) f(uit-+ i)_f/(t -f+/(i).
La condition (2) entraine immediatement l'egalite (2)
S(AB) -- S(BC)= S(AC)
(B sur le segment Ac);
(1) Les ddfiniLions et enonces de la fin de ce Chapitre sont empruntees, bien
entendu, a la Geometrie de Zahlen ou aux Diophcintische Approximationen.
(2) Je ne me suis pas cru tenu de traduire rigoureusetnent l'expression de
M. Minkowski: Strdihldistanz. De meme, les conditions donnees par lui sont
moins restrictives en general; il distingue notammnent la Strlihldistanz, les
Strdhldlistanz einhellig, wechselseitig, ou les deux, suivant qu'elle vdrifie les
proprietes (i- 2 pour > o); ( - 2 pour >,o- 3); (i- 2); (I- 2- 3).
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