Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

INTRODUCTION ALGEBRIQUE. 15
passant d'un systeme a l'autre, les coefficients des equations se
transforment par une substitution liee (') simplement a T. La
solution generale des equations ddpend de m parametres arbitraires
et s'exprime au moyen d'une solution particuliere quelconque
(T, i2 *... M,,) et de in solutions des equations sans deuxiemes
membres quelconques, mais independantes, c'est-a-dire telles que
la matrice qu'elles forment
|a t 2.a7
1 a... a
de type (in, nz), soit de rang n. Les solutions sont alors
Il P2 p. n 11 = 11 l.i. ll+ 11i1 r2.... /' 1 X M.
Les nombres r sont des indetermninees reelles (2), en outre chaque
solution n'est ainsi exprimee qu'une fois, de sorte que 1'on peut
appeler les r, cool'donnees du point dans le sous-espace, relatives a l'Voligine (,, 2,, *...,,,) et a la matrice M; les 7 sont
reciproquement des fonctions lineaires et homogenes de m differences pi - - i convenablement choisies (correspondant a un
mineur non nul de M).
Dans le cas oh le sous-espace passe par l'origine, on peut supposer
MTi = -m2 -= *..'n = 0
et M/ que nous appellerons matrice du sous-espace (3) est forme
par m points du sous-espace. On peut traduire le fait que M est de
rang m en disant que les in points n'appartiennent pas a un sousespace de rang inferieur (s'il en etait ainsi, ils verifieraient en effet
plus de n -- m relations et le rang de leur matrice serait inferieur
(') C'est la substitution associee a (T1~)- (voir une precedente Note); on la
designe, dans la thdorie des invariants, sous ]e nom de substitution contravariazte
de T.
(2) Cette condition de realite rdsulte de ce que l'espace est semi-reel; aux colonnes r6elles de la matrice doivent correspondre des p reels, aux colonnes imaginaires conjuguees des p imaginaires conjugues. En rapprochant ceci d'une
remarque pr6ecdente, on voit que la notion d'espace semi-rdel n'est en somme
qu'une representation non enti6rement reelle d'un espace r6el.
(3) Dans le cas general, M serait, en quelque sorte, forme par m directions
independantes du sous-espace.