Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

INTRODUCTION ALGEBRIQUE.

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L'ensemble des tableaux equivalents a un tableau donne, est dit,
toujours suivant une locution de la theorie des formes, un systeme
de tableaux, deux elemenis de ce systeme sont equivalents; ou,
encore, il peut etre engendre a partir de 'un quelconque de ses
elements. On dit que ce systeme est une classe, si l'on se borne a
l'equivalence propre.
Langage geom6trique.
Pour simplifier, ou pour illustrercertains enonces ou demonstrations, il peut etre commode d'employer un langage geometrique.
On dit alors qu'un systeme de in nombres reels pI, P2,..., p
represente un point P de l'espace a n dimensions ( ); les nombres
sont les coordonnees du point. Nous etendrons aussi ce langage,
atn cas ou parmi les nombres pi, r seulement sont reels, et 2 S imaginaires conljugues deux a deux. A linstar des tableaux, nous
dirons que l'espace est alors semi-reel.
Nous pourrions interpreter une substitution lineaire, soit comme
une correspondance entre points d'un meme espace, soit, et c'est
toujours a ce dernier point de vile que nous nous placerons, comme
un changement de coordonnees, sans changement d'origine. D'une
facon precise, etant donne un point P(p,, pi,... P,) et un
tableau T, nous appellerons coordonne'es relatices de P par
rapport a T, les nombres x,, x.,,..., x,/ definis par
1 Pl P2 *. P, 11 = 11 X1 2... X71 II T;
les nolnbresp, a uxcqels nous attacherons plus d'importance, seront
dits, par opposition, coordonne'es absolues. On peut faire a ce
sujet plusieurs remarques: d'abord I'origine, c'est-c-dire le point
(o, o,..., o), conserve les mnemes coordonnees; ensuite les lignes
de T sont formees par les coordonnees absolues des points dont
les coordonnees relatives sont respectivement
(. 0,...,0), (o0 I,O,.., o),..., ( 0,o...,1).
(1) Ce langage est tres courant en analyse et theorie des ensembles et des fonctions. Pour les m6mes raisons que pour les tableaux, it m'a paru utile de fixer
ici les notations employ6es dans la suite de ces lecons. Je signale qu'on peut envisager aussi p1, p,..., p, comme les coordonnees lhomogenes d'un point d'un
espace a I -1i dilmensions ou encore comme les projections d'un vecteur libre.