Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

12 CHAPITRE I.
cela, ii faut et il suffit (') que v et ZE- soient a termes entiers, ou
encore que E soit a termes entiei's et A (E) egal a ~ i.
Un tel tableatu est dit tunimodulaire, et plus particulierement
modulaire si A(E)= — i. D'apres ce que nous venons de dire,
linverse d'un tableau unimodulaire est encore unimodulaire; il
en est encore de meme du produit de plusieurs tableaux unimodulaires.
Deux tableaux A et B sont dits equivalents si A est le produit
a gauche de B par un tableau unimodulaire
A = Y X B, A(E) =+4- I
(on dit proprement equivalent si E est modulaire); cette notion
d'equivalence (2) est en soinme transportee de la theorie des formes:
suivant une locution deja ancienne (elle remonte a Gauss, pour les
formes binaires quadratiques) les formes decomposables associees
a A et B sont dites caithinetiquement equivalentes; elles engendrent, a l'ordre pres, les memes ensembles de valeurs quand on
remplace les variables par tous les systemes de n entiers. C'es
Hermite qui, dans son celebre Memoire sur la transformation des
fonctions abeliennes, etendit la notion aux tableaux et aux substitutions; nous en trouverons d'autres raisons d'etre aux Chapitres
suivants.
L'equivalence est reciproque, A = B entraine en effet B = E-~ A
et E-1 est egalement unimodulaire. En outre, deux tableaux equivalents a un troisieme sont equivalents entre eux; car
B S A,
entraine B = S'-1 C.
C -'A
(1) I1 suffit 6videmment que S et ~-1 soient i termes entiers, on constate que
cela est n6cessaire en consiclrant les systemes d'entiers
(I, O..., 0), (0, I, O,..., O),....
D'autre part A (v) et cdevant 6tre entiers, il faut A () -~, mais alors,
d'apres la formation des termes de S~-, on voit qu'ils sont entiers si ceux de v
le sont.
(2) Pour la notion d'equivalence, il y a la mnme ambiguite que pour la definition du produit et l'association d'un systeme de formes a un tableau. Dans le
MVmoire d'Hermite, la multiplication par ' est a droite; pour d'autres points de
vue (formes bilineaires, recherches de M. Jordan), on peut envisager le produit
par des tableaux unimodulaires, simultan6ment a droite et a gauche vAv'.