Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

INTRODUCTION ALGEBRIQUE.

I I

reels. Nous dirons encore que (D est associee a A; mais reciproquement, si l'on se donne une telle forme ~D, les formes lineaires
dont elle est le produit n'etant definies respectivement qu'a des
facteurs pres (reels pour les Ei, imaginaires conjugues pour les -rj,
lj), le tableau semi-reel, auquel ( est associee, n'est defizi
qut'a tune dilatation pres de determinant i.
On pent encore associer a A la fonction
F(x, x2,..., Xn) =-f(Xil i,:l i I),
f tant une fonction homogene de + s variables et )X, [j des
parametres positifs. L'un des avantages (1) d'une telle fonction,
comme nous le verrons par la suite, est que le tableau auquel elle
est associee n'est defini qu'a une dilatation pres. C'est Hermite
(Journal de Crelle, t. XLI) qui, le premier, utilisa une telle
fonction; il prenaitpourf une somme de carres et F etait par suite
tune forme quadratique definie
i=n j=s
F(as?,...* ^ -^^l^-l2-^^ ^7^7.
F (xj X2, X,,) _- X I i[2-k- j ~] j'
i=l j=1
De meme que pour le systeme de formes, la forme decomposable
ou la fonction d'Hermite associe au tableau A x B se deduit par
la substitution A de la forme ou de la fonction associee a B. Par
suite, au point de vue de l'etude arithmetique des formes decomposables, il peut y avoir interet a considerer les substitutions E qui
remplacent tout systeme de nombres entiers pour les x par un
systeme de nombres entiers pour les [ et reciproquement. Pour
(') Pour plus de details sur l'utilit6 de cette fonction, voir le Chapitre IV. A
un autre point de vue, on pourrait encore associer a A la forme bilin6aire
1a' xi Yi'
qui devient une forme quadratique si, A etant sym6trique, on fait xi= y. Si A
est symntrique gauche d'ordre pair, on peut lui associer de m6me un complexe
lineaire de droites. Pour ces differents cas, il y aurait lieu de definir le tableau
symdtrique S1 d'un tableau S (deduit par changement de lignes en colonnes).
L'effet d'une substitution lin6aire S est alors de remplacer A par SAS,. Je renvoie
pour ce sujet aux Traites sur les invariants, par exemple l'Encyclopedie, t. I,
vol. II, article de Meyer et Drach.