Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

INTRODUCTION ALGEBRIQUE.

9

aisement ce que deviennent ces resultats pour la theorie des substitutions et le probleme primitivement pose.
Ia condition du theoreme n'est evidenmment pas necessaire et
certains tableaux peuvent etre mis sous la forme precedente sans
que leur equation en X ait des racines distinctes. Mais le debut
du raisonnement est toujours applicable, les nombres ),X sont
encore des racines de l'nquation en A, et les termes de la colonne
correspondante de P sont donnes, avec plus ou moins d'indetermination, par un des systemes (3 bis). Dans tous les cas on peut
affirmer que: Xk s'exprime r'ationnellement en fonction des
termes ca de Ic kieI1e colonne de P et des termes de A. Chaque
fois qu'un tableau sera mis sous la forme precedente, nous dirons
que [)\,,2, *.., ),] est son tableau canonique et P son operatezr. Le tableau canoniqtce est toujours determine, l'operateur
est plus oul moins indetermine (I); il l'est meme complletement si
tous les ), sont egaux. On a, en effet, quel que soit P,
[)X] =P - [X, X..., ] x p-'.
Nous sommes maintenant en inesure de rechercher des ensembles
abeliens. II suffit de gdenraliser la propriete enoncee pour les
tableaux canoniques: si un ensemble abelien de tableaux renferme un tableau A dont l'eqtation en ) est a racines distinctes (tableau canonique a termes distincts), toas les autres
tableaux de l'ensemble ont neneme operateur que A.
Soit, en effet, X un tableau de l'ensemble, on doit avoir
AX =-XA ou A = XAX-1.
Mais si A a pour tableau canonique E et pour operateur P, on peut
ecrire l'egalite precedente
A = XPEP-IX — = (XP) x E x (XP)-',
ce qui montre que XP est tin operateur de A, il ne peut differer
(1) Cette indetermination peut encore se traduire par un produit pres a droite
par un tableau S, ce tableau dtant le plus general avec lequel le tableau canonique E soit permutable. On peut, en effet, ecrire alors:
PEP-T = PS x E x S- P-' = PS x E x (PS)-',
car
SES- = ESS- = E.