Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE I.

tiples('); rangeons alors ses racines dans un ordre determine,
soit ),, ) "?,.., ),n L'lne quelconque ),k annule le determinant(4), mais n'annule pas tous ses mineurs, sinon elle annulerait
la derivee de f(,\) (somme des mineurs principaux). Done, en
transportant cette valeur dans le k/'me systeme (3 bis), on trouve
un systeme de valeurs pour a a, C...., A, c'est-a —dire pour les
termes de la k/ci' colonne de P, defini a un facteur pres de proportionnalite. Le tableau P lui-mnme n'est done defini qu'at un
produit pres a droite par un tableau canonique. Pour resoudre
completement le probl'eme propose et passer de l'egalite (3); la
forme voulue pour A, il suffit de nontrer A (P) z o. S'il n'en etait
pas ainsi, a c,, f..... c verifieraient, quel que soit i, une meme
relation
ti Ca 1 -i U22 - ~ ~ ~ - z n = 0,
oul nous pouvons supposer par exemple U,, Z o. Mais alors, en
remplacant dans chaque systeme (3 bis) la derniere egalite par la
precedente relation, on en conclurait que les n nombres distincts
)\,,), i... )., verifieraient la relation
al-X a2... a a'
a-1 a^U.. a"1- - a '
aul-I u-, /i —i a n-1_
U1 U2... Un-l1 LLt,
ce qui est absurde, cette relation etant de degre n - i en \ et non
identiquement nulle. On peut done enoncer le resultat:
Si l'equation en ), de A n'a pas de racine multiple, on peut
mettre A sous la forme
A =P x [I, A...,] x P-,
)A 2, )2...,, sont les rIacines de l'equation en X, et, leur ord're
etant choisi, P est determine aC un produit pres a droite par un
tableau canonique. Les rapports des termes de la k/em'e colonne
sont des fonctions rationnelles de )k et des termes de A. On verra

(1) Pour la discussion du cas general, je renvoie au Traite de M. Jordan ou a
un M6moire de H. Poincare (Journal de l'Ecole Polytechnique, I881) ou encore
a l'article de MM. Meyer et Drach sur les invariants (Encyclopedie, t. I, vol. II).