Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

6

CHAPITRE I.

La multiplication de-:deux tableaux canoniques est donc bien
commutative; on peut aller plus loin. La definition mmem de la
multiplication conduit a une regle simple pour le produit d'un
tableau A par un tableau canonique E; il suffit de multiplier
par oci (i= I, 2,..., n) tous les termes de la ligne de rang i
de A, si le produit est a gauche (E x A), et de la colonne, si le
produit est a droite (Ax E). En consequence, si l'on suppose que
les termes de E sont inegaux, pour que le tableau A soit permutable avec E, (AE= EA) il faut et il suffit qu'il soit canonique;
l'egalite cai aJ=j a.j entraine, en effet, a- o pour i j. Done,
si uln ensemble abelien renferme un tableau canonique a
termes distincts, cet ensemble ne renferme que des tableaux
canoniques.
Soit maintenant P un tableau determine [A(P); o] et E un
tableau canonique quelconque. Les tableaux PEP-I forment
encore un ensemble abelien; c'est ce qui resulte des regles de
calcul (consequences des propriet-es des operations)
PEP-'+ PE'P- = P(EP-' E'P-I) P(E - E') P-,
PEP- Ix PE'P- = P(E x E')P-l,
(PEP-I)-I = (P —I)-Ix E-ix P-I = PE-'P-i,
A(PEP-i) =A(P) x A(E) x A(P-l) = A(E).
Nous allons voir que c'est la le cas general des ensembles
abeliens.
Montrons d'abord que tout tableau A peut etre mis, en general,
sous la forme precedente. C'est ce qui resulte d'un calcul bien
connu (on le trouve notamment dans le Traite' des substitutions
de M. Jordan) str la reduction d'une substitution a sa forme
canonique. Voici comment, avec les notations adoptees, on peut
se poser ce dernier probleme. Soit la substitution associee a A,
1I xl x2... x, |l = Il i y2... y,L 1I X;
peut-on considerer les x et les y comme provenant, par une meme
substitution P, des variables x' et y'
11 x/ I x2... x, II-= 1 Xi X2.... Xl 1 X P,
Iy1 yvi Yy, pl =11-1 yI y2 y yt 11 x P,
les variables y' provenant des x' par une substitution cano